Что меня сегодня восхитило
Aug. 14th, 2014 10:10 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
spamsinkВзять вот целые неотрицательные числа. Все ли из них могут быть представлены суммой двух квадратов? Увы-с, не все. И суммой трех квадратов - тоже не все. Лагранж доказал, что суммой четырех квадратов можно-таки представить все неотрицательные числа, а Рамануджан нашел еще 54 серии универсальных квадратичных форм четырех переменных (многочленов, у которых каждый член - или квадрат переменной, или произведение двух разных переменных, с некоторым коэффициентом, не обязательно равным 1).
Если дана какая-нибудь произвольная квадратичная форма, принимающая только целые неотрицательные значения, то как выяснить, универсальная она или нет? Оказывается, для формы с целыми коэффициентами достаточно проверить, можно ли с ее помощью выразить числа вплоть до 15, а для произвольных коэффициентов понадобится проверить 29 чисел: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290. За доказательство второго результата (в соавторстве с Джонатаном Ханке) и за обнаружение более простого доказательства первого результата, нежели полученный Конвеем, в числе прочих заслуг, Манжул Баргава и получил на днях премию Филдса.
Как говорится в статье по ссылке, The proof is a feat of ingenuity combined with extensive computer programming.
Если дана какая-нибудь произвольная квадратичная форма, принимающая только целые неотрицательные значения, то как выяснить, универсальная она или нет? Оказывается, для формы с целыми коэффициентами достаточно проверить, можно ли с ее помощью выразить числа вплоть до 15, а для произвольных коэффициентов понадобится проверить 29 чисел: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290. За доказательство второго результата (в соавторстве с Джонатаном Ханке) и за обнаружение более простого доказательства первого результата, нежели полученный Конвеем, в числе прочих заслуг, Манжул Баргава и получил на днях премию Филдса.
Как говорится в статье по ссылке, The proof is a feat of ingenuity combined with extensive computer programming.
