Занимательная математика

[spamsink]

Чему равно ( 1+9^−47⋅6 ) ³²⁸⁵ и с какой точностью?

(Это более или менее баян, но я вижу впервые)

Comments

[rezkiy.livejournal.com]

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995, со всеми значащими цифрами, т.е с точностью 10^(-50)

[spamsink]

Правильно сказать "с точностью как минимум 10^(-50)". :)

[rezkiy.livejournal.com]

как я сказал, тоже правильно. Как предлагаете вы, точнее.

[vak]

Похоже на олимпиадную задачку для старших классов.

[spamsink]

Без калькулятора на вопрос о точности не ответить, по-моему.

[vak]

Выписать степенной ряд для е и сравнить с членами бинома (1+1/n)^n. Первое же расхождение и даст нужную точность.

[spamsink]

Первое же расхождение

Это какое по счету? :)

[vak]

Хрен знает, может это все бредятина. :)

[spamsink]

Можно проще. Для оценки порядка величины можно прологарифмировать выражение ниже и без калькулятора.

[ygam.livejournal.com]

1+9^(-4^7*6) = 1+9^(-4^42) = 1+9^(-2^84) = 1+(3^2)^(-2^84) = 1+3^(2*(-2^84)) = 1+3^(-2*2^84) = 1+3^(-2^85) = 1+1/n где n=3^(2^85)

(1+1/n)^n = основание натуральных логарифмов с очень большой точностью.

[spamsink]

Конечно. Чему равно это "очень" меня поразило, потому я и опубликовал.

[ygam.livejournal.com]

Сейчас подумаю.

(1+1/n)^n = e^(n*ln(1+1/n)).

ln(1+1/n) ≃ 1/n-1/(2*n^2)

n*ln(1+1/n) ≃ 1-1/(2*n)

e^(n*ln(1+1/n)) ≃ e^(1-1/(2*n)) = e/e^(1/(2*n)) ≃ e/(1+1/(2*n)) ≃ e*(1-1/(2*n))

Если n=3^(2^85) - вот и точность.

[spamsink]

Ну да, но в десятичных цифрах звучит круче.

[ygam.livejournal.com]

18457734525360901453873569 цифр?

[spamsink]

Мне bc говорит ...570.

[ygam.livejournal.com]

Странно: после линейного приближения следующий член - квадратичный, который корректирует после еще гораздо большего числа цифр.

[spamsink]

Я не забыл логарифм двойки прибавить. И сказать перед этим scale=100, а то без этого совсем неточно получается.

[maksa.livejournal.com]

А, понял, наконец, как 84 в 85 превращается.

[spamsink]

Да, power towers - дело неинтуитивное.

[niobium0.livejournal.com]

е, точность ограничена e/(3^2^85+1)^3^2^85, например

[spamsink]

Да, а в десятичных цифрах это сколько? :-)

[juan-gandhi.livejournal.com]

Баян для шестикласников.

[spamsink]

Это не очень-то баян, поскольку придумано в 21 веке, если верить Вольфраму. Что для шести(условно)классников - правда, но всё равно красиво.

[juan-gandhi.livejournal.com]

Ну хорошо, первая часть, что там одно и то же число... такого напридумывать можно массу.

[spamsink]

Трюк в том, что это самое лучшее pandigital приближение e.
Лучшее известное на сегодня пандигитальное приближение пи хуже на много-много порядков. :)

[juan-gandhi.livejournal.com]

А! Вот где красота - pandigital!

[yatur.livejournal.com]

Честно не заглядывая в дискусии - это примерно равно 2.71828. С очень большой, прямо таки офигительной точностью :)

[spamsink]

Равно 2.71828 оно с плохой точностью, всего до пятой цифры. А вот числу е оно равно, действительно, с офигительной точностью. :)

[yatur.livejournal.com]

Я так и знал, что математики придирутся к формулировке :) Но исправлять поленился - пишу с мобильника.

[dvv.livejournal.com]

Ёпта. Это 7×6, а не 7.6…

[spamsink]

В результате умножения 7 на 6 получается скаляр, поэтому допустимо использовать символ скалярного произведения U+22C5 DOT OPERATOR, как мне нарисовал какой-то онлайновый преобразователь латекса в MathML, на который я плюнул (хотя и работает) и записал маркап по-человечески, а символы оставил.

[dvv.livejournal.com]

Да я понимаю… Мне зрения не хватило разглядеть, что за точка там такая.