Календарное

[spamsink]

(по мотивам дискуссии с френдом, но ссылки не даю, чтобы не спойлить)

Взять вот среднюю длительность года (неважно какого, пусть тропического для удобства). Если она получена в результате измерений, дающих среднее 31556925.19 секунд со всеми верными цифрами, то в ее десятичной записи в днях 365.2421897 нужно будет дать тоже 10 цифр. А если мы возьмем длительность юлианского календарного года – 365.25 дней, или григорианского – 365.2425 дней, и переведем в секунды, то сколько значащих цифр окажутся истинно верными?

Comments

[i_eron]

Бесконечно много?

[spamsink]

OK. Если сформулировать так: "считая среднюю длительность календарного года, как приближение к средней длительности тропического года, равной 365.25 дней, длительность тропического года выходит X*10⁷ секунд, а равной 365.2425 дней -- Y*10⁷ секунд", то со сколькими значащими цифрами правильно будет записать X и Y?

[i_eron]

Не знаю. Невозможно сказать, сколько значащих цифр в числе 365.2425 или 365.25 просто из написания этого числа. Нужно знать, с какой точностью имел его в виду его автор. Лучше было бы писать 365.25±0.25, или 365.25±0.05, или 365.25±0.01. Исторически, авторы календарей приближали правильное значение (известное им неточно), с помощью удобной дроби. Выбор знаменателя был за ними. Римляне, например, знали, что четверть - лучше, чем треть или пятая. Не помню, знали ли они, что она лучше, чем любой знаменатель вплоть до 17.

[spamsink]

Из написания - нельзя, а из способа, которым оно было получено - пожалуй, можно. И почему до 17? У меня 29 получается.

[i_eron]

Я взял знакомое мне с детства число 365.2422 за точное. С ним получается, что 17 (365.2353) лучше, чем 4 (365.2500), хотя сам я бы ради такого небольшого улучшения на 17 не перешёл (в отличие, кажется, от саранчи).

Но теперь смотрю - Вики утверждает, что раньше тропический год был заметно короче - в 45 г. до н.э. он был целых 365.2423, если я правильно разобрался в их формуле. И вообще, он зависит от того, между какими двумя датами его мерить. Так что всё это зыбко и неточно.

29 - конечно, гораздо лучше, кто ж спорит, но оно больше. Ещё 25 - очень неплохо, на что ещё Григорий XIII обратил внимание.

[spamsink]

Цикады есть 17-летние, да.

Более строго, мой вопрос можно сформулировать так: какой степени по основанию B равна погрешность числа, полученного как подходящая непрерывная дробь, если ее знаменатель равен M (если этого недостаточно, то если знаменатель предыдущей подходящей дроби был L, а следующей был бы N).

[i_eron]

Ну, когда вся недосказанность устранена, вопрос превращается в простой :-)

[spamsink]

Именно: http://spamsink.livejournal.com/508965.html?thread=6828837#t6828837

[spamsink]

Я понял, в чем разница. Я в непрерывную дробь раскладывал, а там вариантов гораздо меньше. Правильный способ - складывать числители и знаменатели, тогда выходит 1/4, 4/17, 5/21, 6/25, 7/29, 8/33, 23/95, 31/128, и это очень хорошее приближение для современного значения, потому что следующее улучшение наступает лишь на 442/1825.
Подходящие дроби для 97/400 начинают расходиться с приведенным списком после 8/33.

[vak]

Эх, не приходилось тебе сдавать лабы по физике Льву Лазаревичу Гольдину. У него это был любимый вопрос "на двойку". :)
Количество цифр должно соответствовать погрешности. Если погрешность прямо не указывается, подразумевается единица младшего разряда. Для простоты число знаков сохраняется.

[spamsink]

Трюк в том, что нативная запись обсуждаемого числа, для погрешности которой подразумевалась "единица младшего разряда" - 365¼. Будь 1/3 хорошим приближением дробной части длины года в днях, сколько верных цифр было бы в ее десятичной записи? А будь 1/7?

[vak]

Поэтому физики не терпят, когда дают какое-нибудь "среднее" без явно указанной погрешности. Гольдин сразу заворачивал такую лабу на пересдачу. :)
Обычно считается, что если написано 365.25, значит +/-0.01.

[spamsink]

Если написано какое-то 365.25, то да, но мы знаем, что речь идет о календарных годах, поэтому это на самом деле 11231.1+/-0.1₄. 6 четверичных цифр - это ceil(6*ln(4)/ln(10)) = 4 десятичные цифры, и никак не 5.
А 365.2425 совпадает с подходящими дробями для реального значения (хоть 365.2422, хоть 365.2421897) вплоть до варианта с дробной частью 33, поэтому точность - три 33-ичных цифры, или 5 десятичных, а не 7, как может сослепу показаться. Соответственно, при переводе в любые другие единицы нужно записывать именно столько значащих цифр.

[vak]

Все это досужие размышления, не имеющие физического смысла. Если речь идет о календарном годе, то это величина условная, с нулевой погрешностью. Если же о некотором реальном числе, полученном из природы, то у него есть соответствующая (относительная) погрешность, до которой и надо округлять.

[spamsink]

Я на это ответил выше. Если угодно, сколько бит информации о мантиссе реальной продолжительности года в значении 365.25?

[vak]

Неизвестно сколько бит, пока не скажешь погрешность. Я тебе другой пример приведу: закон тяготения, m1*m2/r^2. Вот эта самая двоечка - сколько в ней бит достоверной информации? Насколько я слышал, народ ставил эксперименты, измерял. Получилось что-то типа 2 +/-0.000000000000000001 - восемнадцать знаков точности. Т.е. около 60 бит. :)

[spamsink]

Погрешность определяется точно так же, как и в случае десятичной записи: плюс-минус 1/знаменатель_дробной_части.

В случае двоечки хватит одного бита-признака, что число целое.

[vak]

Да сколько ни возьмешь. Все будут истинно верными, даже нули после запятой. :)

[spamsink]

Более удачная формулировка - http://spamsink.livejournal.com/508965.html?thread=6825765#t6825765

[stas]

У меня выходит 6, но я эту тему учил краем уха очень много лет назад.

[spamsink]

6 для какого из двух вариантов?

[stas]

Второго.

[spamsink]

Формально правильно, раз знаменатель больше 100, но меньше 1000.
Мой ответ (5) основывается на том, что 97/400 = 0.2425 как простая дробь является худшим приближением к 0.2422, чем дробь с двухзначным знаменателем 8/33 = 0.2424...