Занимательная математика
Jul. 19th, 2013 04:45 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
spamsink(Это, конечно, баян, но я забыл, как эта нотация называется, а найти не могу. Кто подскажет?)
Если ...111111 - это минус один (а это так, поскольку вычтя это число из нуля - или, как водится, инвертировав и прибавив 1 - получим ...000001), то легко проверить, что ...0101011 - это 1/3, потому что ...010101 - это минус 1/3, т.к. будучи умножена на 3, т.е. сдвинута на 1 влево и прибавлена к себе же, даёт -1.
Аналогично можно легко построить -1/5 (...00110011 - умноженная на 4 и прибавленная к себе, дает -1), -1/7 (...001001001), -1/9 (...000111000111), и т.п. Вообще, двоичный период обычной дроби 1/N, размноженный влево, даст -1/N в этой нотации. Таким образом можно записать любое рациональное число с нечетным знаменателем. Например, 5/7 будет ...0010010011 = 1 - 2/7.
А как работать с непериодическими числами - например, чему равно ...0100000100001000100101, я не знаю.
Если ...111111 - это минус один (а это так, поскольку вычтя это число из нуля - или, как водится, инвертировав и прибавив 1 - получим ...000001), то легко проверить, что ...0101011 - это 1/3, потому что ...010101 - это минус 1/3, т.к. будучи умножена на 3, т.е. сдвинута на 1 влево и прибавлена к себе же, даёт -1.
Аналогично можно легко построить -1/5 (...00110011 - умноженная на 4 и прибавленная к себе, дает -1), -1/7 (...001001001), -1/9 (...000111000111), и т.п. Вообще, двоичный период обычной дроби 1/N, размноженный влево, даст -1/N в этой нотации. Таким образом можно записать любое рациональное число с нечетным знаменателем. Например, 5/7 будет ...0010010011 = 1 - 2/7.
А как работать с непериодическими числами - например, чему равно ...0100000100001000100101, я не знаю.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-07-20 12:06 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 12:12 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 12:18 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 12:19 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 12:44 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 05:48 am (UTC)хвостголову, получаем приближения всё точнее и точнее.Если вместо двоичной системы брать за основу десятичную, то чисел, не изменяющихся после возведения в квадрат, будет четыре: кроме нуля и единицы (корней уравнения икс квадрат равно иксу), есть ещё ...625 и ...376. Это потому, что 10 - не простое число.
no subject
Date: 2013-07-20 05:55 am (UTC)http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/modular.pdf (формула Гаусса на стр. 3 второй статьи)
no subject
Date: 2013-07-20 06:26 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 06:29 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 06:43 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 06:52 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 07:01 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 07:17 am (UTC)На самом деле р-адические числа во многих смыслах "естественней" обычных натуральных: для их сложения есть естественный алгоритм "в столбик", поскольку всегда есть крайний правый разряд, с которого надо начинать (это наблюдение на самом деле объясняет, почему тейлоровские ряды настолько удобны в инженерном деле и физике). В отличие от (http://xaxam.livejournal.com/536302.html).
no subject
Date: 2013-07-20 07:29 am (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 02:30 pm (UTC)no subject
Date: 2013-07-20 02:49 pm (UTC)Факт 1: для них нет обратных элементов по умножению, значит, никто из них не равен 1.
Факт 2: их сумма = 1.
no subject
Date: 2013-07-21 12:57 am (UTC)А в системе с простым основанием эта проблема отсутствует.
no subject
Date: 2013-07-21 12:59 am (UTC)Значимость - такое дело, аршином общим не измерить.