Футболом навеяло

[spamsink]

Вчера сослуживец обратил мое внимание, что во всех восьми группах кубка мира получились разные результаты:

A: 7-4-4-1
B: 9-4-3-1
C: 5-5-4-1
D: 6-4-4-3
E: 9-6-3-0
F: 5-4-3-2
G: 7-5-4-0
H: 6-6-4-1

В предположении, что вероятность ничьих - 25% (на самом деле было 14/48), какова вероятность такого события? При какой вероятности ничьих шансы на то, что во всех восьми группах результаты будут разными, максимальна?

Comments

я не в теме

[http://users.livejournal.com/_navi_/]

А что значат эти числа?

Re: я не в теме

[spamsink]

Количества очков, полученные командами. В группе 4 команды, они проводят 6 игр - каждая с каждой. В результате каждой игры обе команды могут получить по 1 очку (ничья), или одна команда - 3 очка (победа), а другая - 0 (поражение).

[i_eron]

Вы предполагаете случайные результаты, то есть, отсутствие корреляции между разными результатами одной команды? Если так, то модель плохо описывает реальность. А если нет, то неясно, как задать корреляцию. Не говоря уже о том, что результат второй и особенно третьей игры зависит от текущего положения в таблице. В общем, гиблое это дело, моделировать спортивные результаты.

[spamsink]

Как-то же надо определить, как относиться к этому наблюдению. Думаю, что даже такая грубая модель позволит понять, насколько вероятен такой исход.

[i_eron]

Ничьих было 14, значит вероятность победы или поражения 17/48. Вероятность трёх побед подряд, или трёх поражений для одной из команд в группе 4*(17/48)^3=17.8%. Ваше округление до 25% дало бы 4*0.375^3=21.1%.

А в действительности было по две такие команды - 22.2% для трёх побед и 22.2% для трёх поражений. Разница между результатом модели и реальным результатом - это критерий того, насколько результаты разных игр неслучайны, скоррелированы. Получается, что Ваше округление - существенно, без него команды - разные по силе, а с ним - одинаковые.

У меня получилось, что возможных таблиц (четвёрок чисел) - 40. А вероятность восьми разных таблиц - 32.8% в случае Вашего округления и 37.6% без него.

Вместо того, чтобы соображать, я просто использовал генератор случайных чисел. Не так элегантно, но гораздо быстрее, а ответ даёт для любых вероятностей и в любых разрезах.

[spamsink]

Монте-карло, разумеется, наше всё. В обоих случаях результат оказывается не тривиальный (типа "в сотне людей найдутся совпадающие дни рождения"), но и не очень маловероятный.

[i_eron]

Монте-Карло - наше не всё, но очень многое. Тут у меня просто не было времени подумать, а задачка показалась интересной. Несколько минут на десять корявых строчек в Матлабе, и все ответы получены.

Да, результаты интересные. Стыдно конечно, но я и теперь не знаю, как можно красиво показать, без Монте-Карло или расписывания всех вариантов, что возможных четвёрок - именно 40.

Хуже того, я не могу чётко вывести общую формулу для упрощённого случая - вообще без ничьих. Тогда для двух команд - одна возможная таблица, для трёх - две, для четырёх - четыре, для пяти - девять. А для N?

[spamsink]

Простой формулы, похоже, нет: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000571