Вопрос математикам и примкнувшим к ним

[spamsink]

Не пятничный, а серьезный. (по мотивам недавнего объявления о псевдополиномиальности алгоритма определения изоморфизма графов)

Очень хочется увидеть, как выглядит монотонная функция f(f(x)) = e^x, и узнать, с какой скоростью она растёт. Интуитивно кажется, что она должна быть такая единственная. Так как же и с какой же?

Аналогичный вопрос для f(...N раз...f(x)...) = e^x.

Comments

[alexanderr.livejournal.com]

Kneser, H. (1949). Reelle analytische Lösungen der Gleichung ϕ(ϕ(x))=ex und verwandter Funktionalgleichungen. J. Reine Angew. Math., 187, 56–67.

[spamsink]

Спасибо. Немецкого я, увы, не знаю, и (поэтому?) оценки скорости роста я в найденном тексте статьи не увидел (а что никаким более или менее явным образом ее нельзя записать, я ожидал). Таблички значений хотя бы для некоторых аргументов (типа -1, 0, 1) - увы, тоже нет.

[kcmamu.livejournal.com]

Если не требовать аналитичности, решений много.
Берем любое t < 0 и любую непрерывную возрастающую функцию, отображающую (-infty, t] в (t, 0]. Она доопределяется до решения.

[spamsink]

Допустим, взяли e^x-W(1), и дальше?

[kcmamu.livejournal.com]

Дальше кусок за куском доопределяем: [t, 0] -> [0, exp t] -> [exp t, 1] -> [1, exp exp t] -> [exp exp t, e] -> ...

Для этого в уравнение f(f(x)) = exp x подставляем такие значения x, чтобы y = f(x) уже было известно (на предыдущем шаге), и получаем новое значение f(y) = exp x.

[xaxam.livejournal.com]

Я правильно понимаю, что вас интересует асимптотика на бесконечности? Потому что ответ на вопрос, когда из аналитического отображения f(x) извлекается "квадратный корень" хорошо изучен в окрестности неподвижных точек отображения f, решений уравнения f(a)=a. У экспоненты такие точки есть, но они невещественные (надо проверить, но почти наверняка там извлекаются корни любой степени).

Бесконечность для экспоненты - очень гадкая особенность, и там стандартные методы не работают. Ключевое уравнение, которое надо решить - уравнение типа Абеля, f'(x)*v(x)=v(f(x)). В случае экспоненты мы получаем уравнение v(e^x)=e^x*v(x). Скажем, если мы ищем решение с v(1)=1 (уравнение линейное, поэтому это не большое ограничение), то получаем, что v(e^n)=1*e*e^e*e^{e^e}*...

Рост, как можно усмотреть, весьма нехилый.

[xaxam.livejournal.com]

Посмотрел бегло статью Кнезера, насколько аллемандский позволяет. Он в самом деле находит неподвижные точки комплексной экспоненты и проверяет, что они гиперболические (производная по модулю не равна единице). Это означает возможность извлечения "корня" любой степени и даже "логарифмирования" (включения в поток аналитического векторного поля). Дальше что-то говорится об аналитическом продолжении подобных корней, но это заведомо путь в тёмный лес.

Осмысленная постановка, которая вас должна интересовать, - найти вещественно-аналитическое решение, - оно, похоже, существует и должно даваться неким интегралом, но область сходимости интеграла надо очень внимательно осмотреть. Дело в том, что бесконечность - не неподвижная точка экспоненты в полном смысле слова: всё зависит от того, с какой стороны (на комплексной плоскости) к ней подходить. Может быть и рост, и очень быстрое убывание к нулю, и сумасшедшие колебания (если двигаться по мнимой оси).

[xaxam.livejournal.com]

http://spamsink.livejournal.com/612469.html?thread=8833909#t8833909

[rootkid.livejournal.com]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%27%27%28x%29%3De%5Ex

[yuri-yurkevich.livejournal.com]

А Вы даёте себе отчёт, что все эти конструкции выдумана людьми для описания приключений выдуманных образов в выдуманных ими же мирах?

Но тем не менее, они пытаются убеждать всех, что мир должен развиваться по таким законам.

Особенно экономисты и торговцы движимостями и недвижимостями. Те утверждают, что так может расти прибыль во всякого рода пирамидах.

[spamsink]

Меня, естественно, интересует поведение только на вещественных аргументах, а там рост должен быть заведомо медленнее, чем e^x. Вопрос в том, насколько именно медленнее.

[spamsink]

Спасибо. Но как из этого понять скорость роста, неочевидно.

[kcmamu.livejournal.com]

Может статься, эта скорость роста в элементарных функциях вообще не выражается.

[spamsink]

Ну хоть ограничить двумя какими-нибудь (поинтереснее, чем O(x^n) и O(exp(x/n)), конечно). Например, она выше или ниже, чем O(exp(sqrt(x))?

[kcmamu.livejournal.com]

Я так понимаю, что ниже любого exp(x^\epsilon) и выше любого exp((log x)^N).

[spamsink]

Интуитивно похоже на то, действительно. Но вдруг нижнюю границу можно улучшить?

Если задать ограничение, что функция должна быть не только монотонная, но и без перегибов, будет ли решение единственным? При t=-1 перегибы значительные, при t=-W(1) - гораздо меньше.

[kcmamu.livejournal.com]

Обе оценки можно улучшать, конечно.

Идея такая: для сколь угодно больших N и n на бесконечности должно быть

N ln ln ... (n раз) ... ln x
< ln ln ... (n раз) ... ln f(x)
< (1/N) ln ln ... (n-1 раз) ... ln x.

Насчет перегибов: выпуклости для однозначности не хватит. И конечного числа ограничений на высшие производные не хватит. Вот если на все производные ограничение наложить...