Пространственно-вообразильское

[spamsink]

Каково минимальное число граней у невыпуклого многогранника, который не может касаться плоскости ни одной из граней?

Comments

[dz.livejournal.com]

вершин - 8 - тетраэдр + 4 "впуклые" вершины
доказать не могу

[spamsink]

Граней, тем самым, получается 3*4=12. Это логично, но неоптимально.

[janatem.livejournal.com]

Тогда можно в тетраэдре делать не трехгранные дырки, а двугранные. Еще можно сэкономить, начисто спилив базовую грань. Итого получится 4*2=8 граней. (Если там вообще что-нибудь останется от тетраэдра.)

[spamsink]

8 - правильный ответ.

[alextr98.livejournal.com]

А если ужесточить условия?
Чтоб не гранью не мог коснуться, а даже и ребром?
То есть только вершины?

[asy.livejournal.com]

12?

[solomon2.livejournal.com]

Вообразил.

[galkao.livejournal.com]

А если две грани находятся в одной плоскости, и являются продолжением друг друга, то это - одна грань или две?

Без такой поправки у меня получается минимум - на основе тетраэдра, то есть 12.

[spamsink]

Тогда, вроде, 12 - 4 трехгранные пирамидки, приклеенные основаниями к граням тетраэдра. Как эта железная штука называется, которую лошадям под ноги или машинам под колеса кидают?

[spamsink]

Это одна грань, потому что между ними нет ребра.

[b0p0h0k.livejournal.com]

> Как бы эту фигуру назвать?
Аткоэдр. :)
Видимо, звёздчатый тетраэдр (stellated tetrahedron), всё же.

[rkatsyv.livejournal.com]

Caltrop

[alextr98.livejournal.com]

Caltrop!

[spamsink]

Я слово пассивно знал, но картинки в вики были не такие. Надо было в гугле искать - действительно, нашлись и многогранники. А русское слово "чеснок" в значении "caltrop" впервые вижу.

[spamsink]

Аткоэдр - смешно. А stellated tetrahedron - это другое (см.)

[spamsink]

Да, спасибо.

[b0p0h0k.livejournal.com]

Да, я разобрался уже.

[juan-gandhi.livejournal.com]

8?

[spamsink]

Да.

[vgramagin.livejournal.com]

Ну навскидку - 9, но значит тут подвох, и где-то одну можно урезать, поэтому 8, хотя я и не представляю еще, как

[spamsink]

Зачем говорит "аткоэдр", когда можно говорить "месовигранник"?

[liddaged.livejournal.com]

Пентаграмма

[spamsink]

Почему пентаграмма? На плоскости многоугольнику без сторон, которыми он мог бы касаться прямой, хватит шести сторон, но я спрашивал про многогранник.

[xaxam.livejournal.com]

Берём плоский шестиугольник, который не ложится ребром ни на одну прямую, и строим над ним конус (бесконечный). А потом двумя ударами отсекаем от этого конуса "вершину", которая не встаёт на основание. Итого восемь граней.

[spamsink]

Я не понял две вещи: что такое бесконечный конус, и что мешает полученной фигуре продолжать стоять на этом самом плоском шестиугольнике.

[xaxam.livejournal.com]

Бесконечный конус - трёхмерный аналог бесконечного угла: из вершины проводим все лучи, соединяющие её с шестиугольником "в основании".

Нам надо отсечь от бесконечного конуса конечную вершину (если не надо конечности, то такой шестигранный конус уже решает поставленную задачу). Если рубануть вдоль одной плоскости, то мы получим плоское шестиугольное основание, на которое в самом деле можно "встать". Но если мы пересечём конус с невыпуклым двугранным углом (скажем, "почти полупространственным", но всё же невыпуклым), то вместо плоского основания получится объединение двух граней, ни на одну из которых нельзя встать из-за невыпуклости.

[xaxam.livejournal.com]

То же самое другим манером: возьмите конус с плоским шестиугольным основанием, как описано, "надломите" основание вдоль какой-нибудь прямой, и вдавите немного линию разлома "внутрь", создав таким образом "впуклость".

[spamsink]

Вот теперь увидел, спасибо.

[xaxam.livejournal.com]

Практически то же самое (только другими словами) предлагалось здесь, http://spamsink.livejournal.com/608998.html?thread=8762086#t8762086

[spamsink]

Нет, не то же самое. У "конуса" есть вершина, в которой сходятся 6 ребер, а по ссылке (и то, что я имел в виду) - другая фигура, но тоже с 8 гранями.

[xaxam.livejournal.com]

Там берется тетраэдр (конус над треугольником), и "надламываются пополам и вдавливаются внутрь" три его грани (что эквивалентно тому, что надламываются и прогибаются внутрь стороны треугольника). Так что получается конус над тем же самым шестиугольником.

Что делать с последней остающейся гранью (основанием), там написано менее ясно, но ключевая идея "надломить и вдавить внутрь" - работает и в этом случае.

[spamsink]

Завтра сутки пройдут, и я повешу картинку с тем вариантом, который был мне известен.

[xaxam.livejournal.com]

Кстати, как назвать: "безосноваэдр". Baselesshedron.

[janatem.livejournal.com]

Не совсем в тему (ибо не многогранник), но всё же: Гёмбёц (https://ru.wikipedia.org/wiki/Гёмбёц).

[e-ponikarov.livejournal.com]

Недотрогаэдр :)

[spamsink]

Дык он у меня в интересах чуть не с самого начала журнала.

[juan-gandhi.livejournal.com]

Просто построил в уме. Спасибо за задачку.

[spamsink]

См. апдейт.

[spamsink]

См. апдейт.

[spamsink]

Я добавил картинку к посту.

[spamsink]

См. апдейт.

[xaxam.livejournal.com]

Да, ваш пример симметричней (и элегантней): у вас все грани треугольные.

[spamsink]

См. картинку в апдейте.

[spamsink]

См. картинку в апдейте.

[spamsink]

См. апдейт.

[spamsink]

См. апдейт.

[juan-gandhi.livejournal.com]

Вот ее я и представил.