Занимательная математика

[spamsink]

Рассмотрим запись произвольного вещественного числа A в виде непрерывной дроби:
a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + 1/...))),
где все a_m, кроме, быть может, a₀ — целые положительные числа. В общем случае (когда A - иррациональное и не выражается с помощью квадратных корней) последовательность a_m - бесконечная и непериодическая.

Для получения рациональных приближений этого числа можно отбрасывать "хвост" непрерывной дроби, оставляя в каком-нибудь месте просто a_m вместо a_m + 1/...

Можно задаться вопросом: если мы хотим представить число A с точностью n десятичных значащих цифр в виде рационального числа, сколько в среднем элементов непрерывной дроби придется использовать?

Ответ на этот вопрос дает теорема Лохса. Оказывается, практически ровно столько же, сколько значащих цифр, даже чуть меньше (отношение количества элементов дроби к желаемому количеству значащих цифр - примерно 0.97, так что взяв m = n, не ошибёшься).

Логично, что у нас десять пальцев. Ох уж этот мне хитрый автор симулятора.

Comments

[juan-gandhi.livejournal.com]

10 из соображений: 1) симметрии, б) химии (там какой-то ген бывает только пяти видов).

[spamsink]

Насчет симметрии не понял, а результат получается из-за (физ)химии в том смысле, что экспрессия какого-то гена волнообразная по "пластине плавника", отчего "плавник" делится на сектора. Конкретно 5 получается из-за соотношения скоростей роста этого "плавника" и амплитуды экспрессии, и подвержено искажениям (полидактилия, синдактилия).

[xaxam.livejournal.com]

Не "в среднем", а "для почти всех" чисел.

Приближение цепной дробью даёт самое лучшее приближение среди чисел с данным знаменателем, и оно, "как правило", лучше десятичной дроби. Теорема Лохса, однако, говорит, что "плохие" числа имеют положительную меру (зависящую от плохизны).

[fatoff.livejournal.com]

Глупая мысль вслух: чем-то напоминает арифметическую компрессию.

[i_eron]

Я думал, что по-немецки chs читается кс, а не хс.
Про пальцы очень здорово. Редкая математика, у которой я могу понять хотя бы утверждение.

[spamsink]

Что почти для всех - это понятно, а "в среднем" - если рассматривать произвольные приближения с конечной точностью.
Что считать "плохими" числами? Те, которые цепной дробью приближаются хуже, чем десятичной? Ну так это понятно: все числа, у которых в цепном разложении в знаменателях только единицы и двойки, будут такими.

[spamsink]

Есть такое дело. :)

[spamsink]

Я думал, что по-немецки chs читается кс, а не хс.

Рейкстаг?

[i_eron]

Когда после s идёт t, немцы так радуются, что всё меняют.

Зекс, а не зехс. Фукс, а не фухс.

[spamsink]

В товарищах википедийцах, по крайней мере, насчет русской записи фамилии согласья нет (это не математик, но для удобства предположим, что это одна и та же фамилия).

[i_eron]

Кажется, правильно всё-таки "Затц фон Лохс":
http://de-en.dict.cc/?s=Lochs

(там можно послушать). Не знаю, почему.

[spamsink]

Интуиция меня не подкачала! :) Но, скажем, Цусрыдук Wechsler я столь же не задумываясь записал бы как Векслер, конечно.

[yuri-yurkevich.livejournal.com]

А я сегодня научился считать на десяти своих пальцах до 63-

Раньше только до 45 умел, ну в крайнем случае до 55.
Но оказалось, что если использовать в качестве старшего счётчика разрядов фигу, точнее, фигу передвижную, то можно и дальше не запутываться при пальцевом счёте.