Мат. задачка

[spamsink]

Дуплет.
а) Найдите минимальный размер набора вещественных чисел, сумма которых - ноль, а произведение - один, и укажите в ответе числа, которые его составляют.
б) Найдите следующий по размеру набор чисел, удовлетворяющий тому же условию.

Комменты пока скринятся во избежание спойлеров.

Upd: Ответ
а) 3 числа, б) 4 числа
неправильный.

Правильный ответ до подсказки дали только 2 человека kcmamu и ilya_dogolazky.

Я раскрываю все неправильные ответы.

После подсказки первыми догадались rezkiy и juan_gandhi.

Ответ: а) 0, б) 3 (любой вариант из трех элементов, мне нравится φ, -1/φ, -1)

Операции суммирования и вычисления произведения (редукция по соответствующей операции) определена для наборов любой длины, включая пустой. Для пустого набора результат равен нейтральному элементу операции: для сложения - нулю, для умножения - единице. Последнее хорошо известно всем, кто помнит, что факториал нуля равен единице, спасибо sevabashirov за напоминание.

Comments

[kcmamu.livejournal.com]

а)
б) например, 2^(2/3), -2^(-1/3), -2^(-1/3)

[sevabashirov.livejournal.com]

1. 3 числа, например: 2 -1-sqrt(2)/2 -1+sqrt(2)/2
2. 4 числа, например: 1 1 -1 -1
Решений в обоих случаях бесчисленное множество

[juan-gandhi.livejournal.com]

Ну с третьей степени начиная... это минимум (скажем, -1 и золотое сечение).
Четвертая степень что-то не лезет; пятая, наверно, сгодится.

А что такое?

[alexanderr.livejournal.com]

a) 4

1+1-1-1=0; 1*1*(-1)*(-1)=1

b) 8

[spamsink]

Нет, можно меньше.

[rezkiy.livejournal.com]

ну то есть a = 4^(1/3), b = с = -4^(1/3) / 2

[vak]

Из трёх чисел можно сделать.
Причём два из них одинаковые.

[stas]

В первом три тогда:)

[aa-kir.livejournal.com]

вроде же очевидно -
-a, -a, 2a,
a=cubic root of 1/2

[juan-gandhi.livejournal.com]

Я пытался сообразить, для каких v полином x^3+vx-1 имеет три вещественных корня, но что-то лень восстанавливать боевые искусства за 10-й класс.

[spamsink]

Зачем? Всегда же можно предположить, что два числа одинаковы, и посмотреть, решится ли.

[yatur.livejournal.com]

Ну, два числа, понятно, невозможны.

При трех числах получается, насколько я понимаю, бесконечное количество решений.

x+y+z = 0
xyz = 1

xy(-x-y) = 1

-yx^2 - y^2x - 1 = 0

yx^2 + y^2x + 1 = 0

Это квадратное уравнение. Положив y=2, получаем

2x^2 + 4x + 1 = 0

D = 16 - 8 = 8
x = (-4 +- sqrt (8))/4 = -1 +- 1/sqrt (2)

Окончательный ответ

x = -1 + 1/sqrt (2) ~= -0.2929
y = 2
z ~= -1.707

Положив y=3, получим другие значения, положив y=3.2 - третьи.

[sevabashirov.livejournal.com]

Черт, о решении -(1/2)^(1/3) -(1/2)^(1/3) 2*(1/2)^(1/3) подумал бы в последнюю очередь.

[zeinab-bint-ali.livejournal.com]

-кубический корень из двух два раза, два кубических корня из двух

[zeinab-bint-ali.livejournal.com]

Следующий -1,-1,1,1 например

3 числа

[inmbt0001.livejournal.com]

-0.5, -2, 1

[maksa.livejournal.com]

а) Что-то вроде −1/2 в степени 1/3, ещё раз оно же и оно же, умноженное на −2. Не уверен, что это единственное решение.
б) Потом подумаю.

[maksa.livejournal.com]

б) Ну, −1, −1, 1, 1? В чём подвох?

[sab123.livejournal.com]

Теоретически говоря, должно быть как минимум 3 составляющих: два одного знака и один противоположного. Но практически их найти я затрудняюсь.

[ilya-dogolazky.livejournal.com]

Ну очевидно нету из 1 и 2 элементов, из 3 до хрена ("набор" это за хрень такая, подмножество или таки можно повторения? не могу сказать, образования не хватает). Из 4 есть простое с повторениями -1,-1,+1,+1 и до хрена без повторений. Но наверное подъёбка тут в том, что в (а) имеется в виду таки пустое множество. Угадал?

Re: 3 числа

[spamsink]

И чё, сумма правда 0?

[ny-quant.livejournal.com]

Предлагаю вариант с дополнительным условием: всё числа должны быть разные.

[janatem.livejournal.com]

Вроде все в лоб нехитро решается:

а) a := 2^{-1/3}, (-a, -a, 2a)

б) (1,1,-1,1)

Полагаю, что подвох, точнее подколка, в том, что найдя ответ на первый вопрос, поциэнт начинает выдумывать причудливые комбинации для второго вопроса, когда есть очень простой набор.

[ticklish-frog.livejournal.com]

Хорошая задачка! Можно позаимствовать как вопрос для интервью? :)

Начинать можно только с 3 чисел.

Если 2 числа одинаковые, то решение одно: (\frac{-1}{2})^\frac13, оно же, -2(\frac{-1}{2})^\frac13.

Если все числа разные, то 2 из них должны быть отрицательные, а одно - положительным. Выберем два отрицательные несовпадающие числа x < y < 0. По ним строится тройка { x, y, -x-y } с суммой нуль, а произведение у них тоже не нуль, так что его можно отнормировать на единицу: { \frac{x}N, \frac{y}N, \frac{-x-y}N }, где N=(xy(-x-y))^\frac13 дает решение исходной задачи. Я подозреваю, что размерность решения будет 1, то есть, разные x и y порождают разные решения, если их отношение разное.

[spamsink]

Подвох есть, но не в этом. Ответ
а) 3 числа, б) 4 числа
неправильный.