Математическая археология

[spamsink]

Выношу из коммента utnapishti https://avva.livejournal.com/3449726.html?thread=171318142#t171318142

У Плутарха в Застольных беседах есть такая фраза:
"Хрисипп говорит, что число составных высказываний, которые можно получить из десяти простых высказываний, превосходит миллион. Гиппарх опроверг это, показав, что существует 103049 "положительных" составных высказываний, и 310952 "отрицательных"."

Эта фраза долго не давала покоя историкам математики: например Томас Хит в "Истории греческой математики" (1921) написал "it seems impossible to make anything of these figures".

И только в 1994 году заметили, что 103049 это десятое число из "последовательности Шрёдера": это количество способов расставить скобки в выражении из 10 букв, например (x(xx))x((xx)xxx))x. С тех пор все уверены, что Плутарх имел в виду это или что-нибудь эквивалентное.
(Кстати, хорошее задание для начинающего generatingfunctionologist'а: найти производящую функцию для этой последовательности :) )
Со вторым числом (скорее всего) справились на 2-3 года позже.
Про 103049: https://math.mit.edu/~rstan/papers/hip.pdf (Spoiler alert: Там выводится производящая функция для чисел Шрёдера.)
Про 310952: https://www.jstor.org/stable/3109806

Хрисипп, по-видимому, имел в виду (2¹⁰)².

В статьях (я даже подписался на JStor ради этого) не делается попыток выяснить, как соотносятся "составные высказывания стоической логики" с расстановкой скобок. Оказывается, что с числом 310952 есть проблема - по идее должно было быть 310954, что есть количество способов расставить скобки в выражении из 11 символов ¬xxxxxxxxxx, если считать (¬ скобочная_структура) и (¬ (скобочная_структура)) эквивалентными. Что именно произошло: Гиппарх обсчитался, какой-нибудь переписчик ошибся, перепутав дельту и бету, или в стоической логике ещё какие-то особые случаи считались эквивалентными, пока загадка.

Comments

[juan_gandhi]

Два крайних случая выкинуть - это случай с нулем скобок и с максимальным количеством?

[spamsink]

Чтобы это понять, нужно сначала выяснить, как скобочная структура соотносится с выражением.
Исходя из того, что для xxx есть всего три варианта: ххх, (хх)х и х(хх), предлагается понять, какой способ соединения простых высказываний в составное имеется в виду. Согласно статье, с отрицанием для ххх должно получиться 7 вариантов. Для 4 символов имеем 11 вариантов (из 1-й статьи, с заменой первого икса на отрицание):

¬xxx ¬(xxx)
¬(xx)x ¬((xx)x)
¬x(xx) ¬(x(xx))
(¬xx)x (¬(xx))x
(¬x)xx
((¬x)x)x
(¬x)(xx)

Где якобы эквивалентные пары упомянуты в одной строке. Итого 7. Какие бы ещё слить, чтобы получилось на 2 меньше?

[spamsink]

Оказывается, обо всём этом было уже подумано: https://ancphil.lsa.umich.edu/-/downloads/osap/40-Bobzien.pdf

[juan_gandhi]

Расписано красиво, но настолько TLDR... только под самый конец уже автор начинает считать деревья.

[spamsink]

Это да. Каталан отдыхает.

Но вообще, всё время не покидает ощущение, что и Хрисипп, и Гиппарх считали ангелов на острие иглы, distinctions without a difference. С нашей точки зрения там просто 1024.